Georg Cantor, 1845 - 1918
En cours, lundi dernier, nous avons parlé des ensembles ordinaux, qui servent « à compter ». Il ne s’agissait que d’ordinaux finis. Par exemple, les ensembles suivants sont des ordinaux finis :
J’ai dit ensuite que chaque classe d’équipotence (classe pour la relation qui existe entre deux ensembles A et B quand ils sont en bijection – one to one) avait « son » ordinal. Evidemment, cela marche bien pour les ensembles finis. Mais que se passe-t-il quand nous atteignons les marécages de l’infini ?
Noter que l’infini existe… mais sous quelle forme ? Il y a des ensembles bizarres, prenez N, l’ensemble des entiers naturels, par exemple, prenez P, l’ensemble des nombres pairs, P est strictement inclus dans N et pourtant… il existe une bijection entre P et N ! Donc, littéralement : P et N ont le même « nombre d’éléments » ! C’est cela justement qui caractérise l’infini, par quoi on peut définir l’infini. N, Z, Q sont trois ensembles différents, chacun strictement inclus dans le suivant, et pourtant ils sont tous les trois en bijection, donc ont le même nombre d’éléments !
Généralisons donc la définition de la notion d’ordinal : on dit qu’un ensemble alpha est un ordinal s’il a les deux propriétés suivantes :
1) La relation
est sur alpha une relation d’ordre total strict qui est un bon ordre ;
2)
(Dire qu’un ordre sur alpha est un « bon » ordre, c’est dire que tout sous-ensemble non vide de alpha possède un élément minimum, mais nous n’attacherons pas trop d’importance ici à ce « détail »).
On voit que « curieusement » dès qu’on a un ensemble « initial » d’ordinaux (c’est-à-dire un ensemble d’ordinaux commençant par le plus petit d’entre eux et qui se suivent)... on a un nouvel ordinal : cet ensemble justement ! et ainsi de suite. On peut voir aussi sur cet exemple que si alpha est un ordinal, alors alpha U {alpha} est un ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : alpha+1, c’est le successeur de alpha.
Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun de ses éléments est successeur d’un ordinal. Dans le cas contraire, on parle d’ordinal limite. Or, si nous considérons l’ensemble de tous les ordinaux finis, on peut démontrer assez facilement qu’il s’agit aussi d’un ordinal, mais on ne peut pas trouver d’ordinal dont il soit le successeur ! autrement dit c’est un ordinal limite.
Notons-le
. On peut montrer que tout ordinal inférieur à cet est un ordinal fini, donc est « le plus petit des ordinaux finis ». Mais on peut évidemment noter que le procédé qui nous a permis d’obtenir un ordinal à partir d’un autre par l’opération de « successeur » s’applique toujours ! U {} a évidemment un sens, et c'est un ordinal distinct de . Donc + 1 est un autre ordinal infini, mais distinct du précédent (puisque c’est son successeur) et ainsi de suite. On engendre ainsi la suite :
est encore un ordinal et ainsi de suite ! Cantor avait bien vu qu’à partir du moment où on ouvrait la porte à un infini actuel, c’est toute une myriade d’infinis qui s’engouffrent, qu’il appelait les ordinaux transfinis.
Etablissons maintenant un lien avec les cardinaux. Les ordinaux et les cardinaux coïncident dans le cas fini, c’est acquis, mais considérons par exemple et + 1 : ce sont deux ordinaux différents et pourtant ils ont le même cardinal car on peut construire une bijection entre les deux. Associons à 0, l’élément rajouté à , qui n’est autre que {}, à 1 associons 0, etc. à n > 1 associons n-1 et ainsi de suite, cette application existe et est réversible, donc c’est une bijection. On a ainsi trouvé deux ordinaux pour une même classe d’équipotence, mais bien sûr on peut en trouver une infinité. La bonne nouvelle néanmoins est que cet ensemble d’ordinaux possède un plus petit élément, donc nous pouvons corriger notre affirmation initiale en disant que pour chaque classe d’équipotence, il existe un plus petit ordinal en bijection avec tous les éléments de la classe, c’est lui qu’on retient pour désigner le nombre associé à la classe.
Ceci dit… par quoi l’existence de ce plus petit élément est-elle garantie ?
Cela n’est pas évident et en réalité va découler … d’un axiome, le fameux axiome du choix !
J’ai dit ensuite que chaque classe d’équipotence (classe pour la relation qui existe entre deux ensembles A et B quand ils sont en bijection – one to one) avait « son » ordinal. Evidemment, cela marche bien pour les ensembles finis. Mais que se passe-t-il quand nous atteignons les marécages de l’infini ?
Noter que l’infini existe… mais sous quelle forme ? Il y a des ensembles bizarres, prenez N, l’ensemble des entiers naturels, par exemple, prenez P, l’ensemble des nombres pairs, P est strictement inclus dans N et pourtant… il existe une bijection entre P et N ! Donc, littéralement : P et N ont le même « nombre d’éléments » ! C’est cela justement qui caractérise l’infini, par quoi on peut définir l’infini. N, Z, Q sont trois ensembles différents, chacun strictement inclus dans le suivant, et pourtant ils sont tous les trois en bijection, donc ont le même nombre d’éléments !
Généralisons donc la définition de la notion d’ordinal : on dit qu’un ensemble alpha est un ordinal s’il a les deux propriétés suivantes :
1) La relation
est sur alpha une relation d’ordre total strict qui est un bon ordre ;2)
(Dire qu’un ordre sur alpha est un « bon » ordre, c’est dire que tout sous-ensemble non vide de alpha possède un élément minimum, mais nous n’attacherons pas trop d’importance ici à ce « détail »).
On voit que « curieusement » dès qu’on a un ensemble « initial » d’ordinaux (c’est-à-dire un ensemble d’ordinaux commençant par le plus petit d’entre eux et qui se suivent)... on a un nouvel ordinal : cet ensemble justement ! et ainsi de suite. On peut voir aussi sur cet exemple que si alpha est un ordinal, alors alpha U {alpha} est un ordinal. On note alors ce nouvel ordinal : alpha+1, c’est le successeur de alpha.
Un ordinal est dit fini si lui-même et chacun de ses éléments est successeur d’un ordinal. Dans le cas contraire, on parle d’ordinal limite. Or, si nous considérons l’ensemble de tous les ordinaux finis, on peut démontrer assez facilement qu’il s’agit aussi d’un ordinal, mais on ne peut pas trouver d’ordinal dont il soit le successeur ! autrement dit c’est un ordinal limite.
Notons-le
. On peut montrer que tout ordinal inférieur à cet est un ordinal fini, donc est « le plus petit des ordinaux finis ». Mais on peut évidemment noter que le procédé qui nous a permis d’obtenir un ordinal à partir d’un autre par l’opération de « successeur » s’applique toujours ! U {} a évidemment un sens, et c'est un ordinal distinct de . Donc + 1 est un autre ordinal infini, mais distinct du précédent (puisque c’est son successeur) et ainsi de suite. On engendre ainsi la suite :
est encore un ordinal et ainsi de suite ! Cantor avait bien vu qu’à partir du moment où on ouvrait la porte à un infini actuel, c’est toute une myriade d’infinis qui s’engouffrent, qu’il appelait les ordinaux transfinis.
Etablissons maintenant un lien avec les cardinaux. Les ordinaux et les cardinaux coïncident dans le cas fini, c’est acquis, mais considérons par exemple
et + 1 : ce sont deux ordinaux différents et pourtant ils ont le même cardinal car on peut construire une bijection entre les deux. Associons à 0, l’élément rajouté à , qui n’est autre que {}, à 1 associons 0, etc. à n > 1 associons n-1 et ainsi de suite, cette application existe et est réversible, donc c’est une bijection. On a ainsi trouvé deux ordinaux pour une même classe d’équipotence, mais bien sûr on peut en trouver une infinité. La bonne nouvelle néanmoins est que cet ensemble d’ordinaux possède un plus petit élément, donc nous pouvons corriger notre affirmation initiale en disant que pour chaque classe d’équipotence, il existe un plus petit ordinal en bijection avec tous les éléments de la classe, c’est lui qu’on retient pour désigner le nombre associé à la classe.Ceci dit… par quoi l’existence de ce plus petit élément est-elle garantie ?
Cela n’est pas évident et en réalité va découler … d’un axiome, le fameux axiome du choix !
