dimanche 8 novembre 2009

L'homme au chapeau



La logique « classique » a parfois d’amusantes conséquences….

Supposez que je dise devant une assemblée d’hommes : « s’il y a un homme ici qui a un chapeau, alors tout le monde a un chapeau ! ». On s’attend à ce que cette phrase signifie quelque chose comme « il y a un homme dont c’est tellement peu l’habitude qu’il porte un chapeau que, si même lui en porte un, alors… tout le monde en porte un ! » et on s’attend à ce que, face à une mise en doute de ma phrase, je désigne cette personne. Or, cette phrase est trivialement vraie !

Pourquoi ?

mercredi 4 novembre 2009

Marx et maths



Quel rapport entre Marx et la théorie des ordinaux finis? je propose celui-ci:

Dans « Le Capital », livre 1, chapitre premier (chapitre sur la marchandise), K. Marx explique la genèse théorique de la forme valeur des biens produits par les hommes. Les biens en certaines quantités entrent en équivalence les uns avec les autres par le biais de l’échange. Par exemple, dans une économie de troc, on en vient à admettre que 20 mètres de toile peuvent s’échanger contre un habit. On a une équation : « 20 mètres de toile = un habit », le terme de gauche est dit être la forme relative de la valeur et le terme de droite la forme équivalent. On peut aussi avoir en généralisant :

Un habit =

10 livres de thé =

40 livres de café =

2 onces d’or = 20 mètres de toile

½ tonne de fer =

X marchandise A

Etc

Toutes les marchandises expriment maintenant leurs valeurs d’une manière simple, parce qu’elles l’expriment dans une seule espèce de marchandise et avec ensemble parce qu’elles l’expriment dans la même espèce de marchandise. Ceci dit, le choix des mètres de toile était arbitraire, on pourrait tout aussi bien avoir :

Un habit =

10 livres de thé =

20 mètres de toile =

2 onces d’or = 40 livres de café

½ tonne de fer =

X marchandise A

Etc

Il vient donc un moment où un type de marchandise est choisi pour incarner cette forme équivalent de la valeur, et du même coup, exclue par les autres. Cette marchandise spéciale est par exemple l’or. La forme simple de la marchandise est ainsi le germe de la forme argent.

On peut mettre ce chapitre en parallèle avec la genèse du nombre telle que proposée par les logiciens du début du XXème siècle, Frege et Russell. Les quantités de marchandises sont remplacées par les ensembles. L’échange est remplacé par l’équipotence (existence d’une bijection entre ensembles). Deux quantités de marchandises différentes équivalentes, cela devient : deux ensembles équipotents (ayant « le même nombre d’éléments »). On en vient à chercher là aussi des ensembles spéciaux, qui vont servir à l’expression de la forme « cardinalité » de chaque ensemble. Ces ensembles spéciaux sont les ordinaux.

Un ensemble de trois fleurs =

Un ensemble de trois images =

Un ensemble de trois personnes = l’ensemble {0, {0}, {0, {0}}}

Un ensemble de trois arbres =

Un ensemble de trois livres =