Du vide au plein

Certain(e)s s’étonnent que l’ensemble vide soit inclus dans tout ensemble… autrement dit que pour tout ensemble E :

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Que le vide soit inclus dans le plein, quoi de plus bizarre. D’autant qu’on a donné la définition suivante de l’inclusion :

si et seulement si tout élément de A est élément de B.

Alors, si est vide… où va-t-on le trouver, l’élément de A qui est élément de B ?

Perplexité.

Pourtant c’est justement là, l’argument : s’il n’y a pas d’élément dans A, aucun risque à dire que tout élément de A possède telle ou telle propriété.

C’est le contraire qui serait gênant, car si vide n’était pas inclus dans E, pour le prouver, c’est là qu’il faudrait exhiber un objet qui est dans le premier ensemble et qui pourtant n’est pas dans l’autre ! C’est donc la fausseté de qui oblige à ce qu’il y ait au moins un élément dans A (pour qu’on puisse montrer qu’il n’est pas dans B), mais sa vérité ne l’oblige pas !

Drôle de dissymétrie qui conduit à dire qu’une universelle (pour tout x appartenant à A, x est un élément de B) peut être vraie alors même que son univers est vide (A peut être vide), et qu’une existentielle en revanche (il existe un élément dans A qui n’est pas dans B) ne peut être vraie que si son univers (l’ensemble A ici) est non vide.

C’est ainsi que toutes les licornes peuvent être dites blanches et neigeuses aussi bien que noires et charbonneuses, sans contradiction, puisque ce sont des chimères et qu’elles n’existent pas !

Pas convaincus ?

De fait, tout ça tient beaucoup au fait de la bivalence : en mathématiques, en logique classique et même en sémantique formelle traditionnelle… tout ce qui n’est pas vrai est faux et tout ce qui n’est pas faux est vrai. Donc étant donné que ne peut pas être faux (pour la raison vue plus haut), il ne peut que… être vrai !

Je reviendrai dans un autre billet sur le vrai et le faux….